ENRICHISSEMENT: Les angles d'un vecteur et ses cosinus directeurs

Les sont les angles qu'il fait avec chacun des vecteurs d'un repère orthonormé. À cette notion s'ajoute naturellement celle des d'un vecteur qui sont le coordonnées du vecteur directeur unitaire de même orientation que le vecteur donné. Voyons comment les calculer.



En deux dimensions, si est l'angle de et de , et celui de et de , on sait que


Ce fait se déduit également de la relation


Puisque ,

  (4)

 




Puisque


on conclut que le vecteur


est un vecteur unitaire de même orientation que .




En trois dimensions, on obtient des relations semblables. Si , alors


  (5)

, et sont, par définition, respectivement les angles que fait un vecteur avec l'axe des , l'axe des et l'axe des . Puisque


et que, étant la norme de ,


la somme des carrés des cosinus directeurs vaut . On conclut que le vecteur


est un vecteur unitaire de même orientation que .

 

DÉFINITION 1.17    Les cosinus des formules (cosinus 1) et (cosinus 2 ) sont appelés les du vecteur . Les angles de ces mêmes formules sont les .

---     EXEMPLE 1.17   ---

 
a) Trouvons les cosinus directeurs et les angles de .
 
b) Trouvons par la suite le vecteur unitaire de même orientation que .


a)
Puisque


alors les cosinus directeurs sont

 
 
 
On considère les angles .

En prenant la projection de sur le plan , le vecteur est dans le quatrième quadrant, alors

 

Ainsi les angles du vecteur sont





 

b) Par définition,