Forme paramétrique de l'équation d'un parallélogramme

La représentation d'un certain nombre de ces droites pour différentes valeurs de et de est celle du quadrillage d'un plan formé de parallélogrammes (possiblement de différentes dimensions). Pour paramétrer un parallélogramme, il suffit de restreindre les valeurs des paramètres à un rectangle:

 

On obtient alors un parallélogramme dont les sommets ont pour vecteurs positions , , et . Si les coins du parallélogramme sont connus, disons


alors en posant et , on obtient

Le domaine des paramètres est le carré unité dans le premier quadrant du plan .

---     EXEMPLE 1.43   ---
 Paramétrons le parallélogramme de sommets , , et .

$\color{blue} \mbox{{\bf {SOLUTION.}}}$ Remarquons que les segments et sont de même orientation et de même longueur, puisque



Pour obtenir le parallélogramme , on pose alors



et



ce qu'on peut également écrire sous la forme




sont les fonctions coordonnées. On choisit le point pour le point , puisque c'est un point qui peut être à la fois l'origine de et de .
-----------------------



Soit , , et les sommets du parallélogramme dont les vecteurs positions respectifs sont


On a et . Puisque

 


- est le rapport de la distance d'un point du parallélogramme au segment à celle de à , la distance étant calculée le long d'une droite parallèle à ,
 
- est le rapport de la distance du point au segment à celle de à , la distance étant calculée le long d'une droite parallèle à .

---     EXEMPLE 1.44   ---
Trouvons le point qui se situe au centre du parallélogramme de l'exemple 1.43.

Pour trouver le point qui se trouve au centre du parallélogramme, il suffit de poser dans la représentation paramétrique du parallélogramme. Ainsi, le point milieu est