Next: Deuxième méthode d'intégration: une Up: Intégrale triple Previous: Intégration sur un domaine

Relation entre les intégrales double et triple
dans le calcul du volume d'une région quasi-élémentaire



Nous avons vu à la page que l'intégrale double permet de calculer le volume du corps enfermé entre les graphes de deux fonctions et définies sur et les droites parallèles à passant par la frontière de . De la même manière qu'il y a un lien entre l'intégrale double calculant l'aire d'une figure et l'intégrale simple de deux fonctions et servant à borner (voir la page ), on trouve la relation suivante entre l'intégrale triple et l'intégrale double:


soit le même type de formule que (), page .

---     EXEMPLE 1.50   ---
Trouvons le volume du solide délimité par les surfaces




Le solide est une région quasi-élémentaire selon comprise entre ces deux surfaces. La projection de l'intersection des deux surfaces est définie par la relation


C'est une ellipse. Son intérieur est défini par . Les limites d'intégration pour sont tandis que les limites d'intégration pour sont . Donc le volume prend l'expression suivante:


On aurait pu écrire directement




-----------------------

---     EXEMPLE 1.51   ---
Trouvons le volume du solide limité par le paraboloïde , le plan et le cylindre .
  est quasi-élémentaire selon , et sa projection sur le plan est l'intérieur du cercle :


D'après la symétrie de , le volume demandé est


Si on avait utilisé la formule () (page ), on aurait écrit


ce qui revient évidemment au même.
XXX


-----------------------



Next: Deuxième méthode d'intégration: une Up: Intégrale triple Previous: Intégration sur un domaine